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[Puissance infini | Steven Strogatz]
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Posté: Dim 18 Fév 2024 20:44
MessageSujet du message: [Puissance infini | Steven Strogatz]
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[Dans un mouvement soudain de nostalgie envers mon adolescence, palpitation aussi imprévisible qu'irrationnelle qui me pousse vers mes anciennes passions, je me dirige parfois vers des ouvrages de vulgarisation des mathématiques et de leur histoire. Ainsi me suis-je penché sur Against the Gods de Peter Bernstein qui traitait de l'évolution de la pensée statistique, et maintenant j'ai pris en main ce travail massif mais très accessible sur le calcul infinitésimal, voulant aussi vérifier ce qu'il me restait en mémoire d'une pratique jadis assez poussée (jusqu'au niveau de la création...)]
Puissance infini, en vérité, dépasse l'histoire du calcul infinitésimal – que l'on fait habituellement remonter à la seconde moitié du XVIIe siècle, à Newton-Leibnitz ; en effet Strogatz prend comme objet le « Principe de l'infini », une méthode et une logique de manipulation de l'infinitésimal, utilisée successivement en géométrie puis en algèbre qui, depuis Archimède et sa Méthode, et durant des siècles, a servi pour tenter de résoudre trois types de problèmes : 1. la « quadrature » des surfaces circonscrites par des courbes – en particulier les courbes coniques : cercles, ellipses, paraboles –, 2. les lois du mouvement – Galilée s'étant occupé d'abord de balistique et figurant ensuite comme précurseur des théorisations du mouvement des corps célestes –, 3. les problèmes concernant les taux de changement, y compris les limites et l'optimisation qui opposèrent les grands rivaux français Fermat et Descartes au début du XVIIe siècle.
Dans cette optique, Newton ne constitue ni le début ni la fin de l'histoire du calcul infinitésimal, laquelle ne semble d'ailleurs pas être en vue, compte tenu des perspectives d'avenir que l'auteur lui prédit aussi bien dans la recherche fondamentale, notamment en physique quantique, que dans ses applications techniques, dans les domaines les plus divers.
Ce dernier point mérite d'être souligné : la formation de l'auteur étant en mathématiques appliquées, sa démarche dans ce travail se fonde sur un aller-retour constant entre l'exposé (et l'explication) des concepts, et leurs applications aussi bien contemporaines à leur élaboration, qu'actuelles. Ainsi, par exemple, les pages sur Archimède et ses préoccupations surtout agronomiques sont interrompues par un saut de deux millénaires qui nous emmène vers les animations cinématographiques par ordinateur – pour créer et faire mouvoir les personnages des films comme Schrek, Le Monde de Nemo ou Toy Story – ainsi que les techniques médicales de pointe de la chirurgie faciale, des scanners par tomodensitométrie et de l'imagerie par résonance magnétique (IRM). Sont également de la partie, au fil des pages, les technologies du GPS, le traitement du VIH par la trithérapie, les calculs de l'Afro-américaine Katherine Johnson ayant permis à John Glenn, le premier astronaute états-unien, d'effectuer avec succès un vol orbital autour de la Terre, les innombrables applications de la physique des ondes dans tous les champs allant de la musique (Pythagore) à la chaleur, des particules subatomiques à l'astrophysique la plus avancée. L'intelligence artificielle représente aussi l'horizon ultérieur de l'usage du calcul infinitésimal.
Le style typique de la vulgarisation scientifique anglo-saxonne sait garder le lecteur alerte tout au long du livre, qui n'abuse jamais d'équations ni de formules mais clarifie le propos avec toute la panoplie des illustrations mathématiques connues depuis le lycée. Les personnages convoqués, surtout ceux qui paraissent passablement antipathiques, comme Kepler, Descartes et Newton, prennent la consistance de véritables héros de roman, alors que plusieurs figures féminines de mathématiciennes contrariées par le sexisme de leur époque, comme Sophie Germain, gagnent une admiration redoublée.



Cit. :


1. « Le calcul infinitésimal est un royaume imaginaire de symboles et de logique ; la nature est un royaume réel de forces et de phénomènes. Pourtant, si l'on maîtrise l'art de traduire le réel en symboles, la logique du calcul infinitésimal peut s'emparer d'une vérité du monde réel pour en générer une autre. On introduit une vérité, une autre ressort. On part d'une chose empiriquement vraie et formulée symboliquement (pour Maxwell, ce furent les lois de l'électricité et du magnétisme), on applique les manipulations logiques qui conviennent, et on obtient une autre vérité empirique, possiblement nouvelle, peut-être un fait de l'univers dont nul n'avait connaissance (l'existence des ondes électromagnétiques). De cette façon, le calcul infinitésimal nous permet d'entrevoir l'avenir et de prédire l'inconnu. » (pp. 15-16)

2. « On ne connaissait pas une copie de la Méthode [d'Archimède] ayant survécu au Moyen-Âge. Léonard de Vinci, Galilée, Newton et d'autres génies de la Renaissance ont eu beau éplucher ce qui restait des traités d'Archimède, ils n'ont pas eu l'occasion de lire la Méthode. On la pensait perdue à jamais.
Et puis, miracle, on l'a trouvée.
En octobre 1998, un vieux bréviaire médiéval a été vendu aux enchères chez Christie's à un collectionneur anonyme pour 2,2 millions de dollars. À peine visibles sous les prières en latin se trouvaient de pâles diagrammes géométriques et des textes mathématiques rédigés en grec au Xe siècle. Il s'agit d'un palimpseste ; au XIIIe siècle, ses pages de parchemin avaient été grattées et nettoyées du grec d'origine puis couvertes de textes liturgiques latins. Par bonheur, le grec n'avait pas été complètement effacé. C'est la seule copie existante de la Méthode d'Archimède. » (p. 93)

3. « […] le problème de l'aire ne concerne pas que l'aire. Il ne concerne pas que la forme, la relation entre distance et vitesse ni quoi que ce soit d'aussi étroit. Il est tout à fait général. Du point de vue moderne, le problème de l'aire consiste à prédire la relation entre tout ce qui change et un certain taux de variation et à quel point cette chose se développe dans le temps. Il traite des entrées fluctuantes d'argent sur un compte en banque et du solde qui s'y accumule. Il traite du taux de croissance de la population mondiale et du nombre net d'habitants de la planète. Il traite de la concentration changeante d'un médicament dans le sang d'un patient en chimiothérapie et de son exposition cumulée à ce médicament dans le temps. […] L'aire est importante parce que l'avenir est important. » (p. 272)

4. «  Là résidait la puissance des séries entières. Elles permettaient à Newton de résoudre une infinité de problèmes d'un coup.
Répétons-le, il n'aurait jamais rien fait de tel sans s'être hissé sur les épaules de géants. Il a unifié, synthétisé et généralisé les idées de ses illustres prédécesseurs : il a hérité du Principe de l'infini d'Archimède. Il a tiré ses droites tangentes de Fermat. Ses décimales lui sont venues d'Inde et ses variables, de l'algèbre arabe. La représentation des courbes sous forme d'équations sur le plan xy était issue des travaux de Descartes. Ses combines free-style avec l'infini, son esprit d'expérimentation et sa disposition pour la conjecture et l'induction lui sont venus de Wallis. Il a mixé tout ça pour créer quelque chose de neuf, quelque chose qui nous permet encore aujourd'hui de résoudre les problèmes de calcul infinitésimal : la méthode polyvalence des séries entières. » (p. 286)

5. « De manière générale, les travaux de Fourier [sur les ondes sinusoïdales, au début du XIXe s.] ont été le premier pas vers l'utilisation du calcul infinitésimal comme augure capable de prédire la façon dont un continuum de particules va se mouvoir et varier. C'était un progrès considérable par rapport à ceux de Newton sur le mouvement d'ensembles discrets de particules. Au cours des siècles suivants, les chercheurs étendraient les méthodes de Fourier à la prévision d'autres milieux continus, comme le flottement d'une aile de Boeing 787, l'aspect d'un patient après une opération maxillo-faciale ou les gargouillements du sol après un séisme. Ces techniques sont aujourd'hui omniprésentes dans les sciences et l'ingénierie. » (pp. 368-369)

6. « Quel avenir attend alors le calcul infinitésimal ? […] je crois pouvoir sereinement avancer que plusieurs tendances se distingueront dans les années qui viennent, et notamment :
- de nouvelles applications du calcul infinitésimal dans les sciences sociales, la musique, les arts et les lettres
- les applications déjà en cours du calcul infinitésimal dans la médecine et la biologie
- la gestion des aléas inhérents à la finance, à l'économie et à la météorologie
- le calcul infinitésimal au service du big data et réciproquement
- les constantes difficultés posées par la non-linéarité, le chaos et la complexité des systèmes
- les collaborations croissantes entre le calcul infinitésimal et les ordinateurs, intelligence artificielle comprise
- l'extension des limites du calcul infinitésimal dans le domaine des quanta. » (pp. 391-392)

7. « Tel est à mes yeux le plus grand de tous les mystères : pourquoi l'univers est-il intelligible et pourquoi le calcul infinitésimal est-il sur la même longueur d'onde ? […] Dans cet esprit, permettez-moi de vous emmener au-delà du réel pour trois derniers exemples de l'étrange efficacité du calcul infinitésimal. [p. 423]
[… les] travaux de Feynman lui-même sur une branche de la mécanique quantique nommée électrodynamique quantique, ou QED selon ses sigles anglais. Il s'agit de la théorie quantique concernant l'interaction de la lumière et de la matière. C'est une fusion de la théorie de Maxwell sur l'électricité et le magnétisme avec celle des quanta d'Heisenberg et Schrödinger et celle de la relativité restreinte d'Einstein. [p. 424]
[La vérification empirique par Carl Anderson en 1932 de l'existence des positons, qui découlaient des calculs de Paul Dirac en 1928] Dirac est parvenu à écrire une équation différentielle de l'électron qui lui a révélé quelque chose de nouveau et de beau au sujet de la nature. Et l'a conduit à imaginer une nouvelle particule puis à prendre conscience qu'elle devait nécessairement exister. [p. 428]
Le prix Nobel 2017 de physique a été décerné pour la détection d'un autre effet ahurissant prédit par la relativité générale : les ondes gravitationnelles. La théorie montrait que deux trous noirs gravitant l'un autour de l'autre feraient tournoyer l'espace-temps tout autour, en l'étirant et en le comprimant de façon cadencée. Selon la prédiction, la perturbation résultante de la trame de l'espace-temps se propagerait vers l'extérieur comme une ondulation filant à la vitesse de la lumière. Einstein doutait qu'il soit un jour possible de mesurer une telle onde ; il craignait d'avoir affaire à une illusion mathématique. Ce qu'ont accompli les lauréats du prix Nobel cette année-là, c'est la conception et la construction du détecteur le plus sensible jamais réalisé. Le 14 septembre 2015, leur appareil a détecté un frémissement de l'espace-temps mille fois plus petit que le diamètre d'un proton. [p. 430] »

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